¿PARA QUÉ SIRVEN LAS FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA?
Una de sus utilidades, es el siguiente CASO:
Subdividir un terreno familiar de forma equitativa
Imagina que heredaste un terreno junto a un hermano. El terreno está delimitado por un río en uno de sus lados, y quieren construir una cerca recta divisoria que parta exactamente desde un árbol viejo en la entrada, hasta tocar el río, dividiendo la propiedad.
Para resolverlo sin pleitos y con precisión milimétrica, se monta un sistema de coordenadas (un plano cartesiano) sobre el mapa del terreno:
1. Ubicar los puntos clave (Coordenadas)
Usando un GPS o estación total, se determinan las posiciones del río.
El río es una línea recta en ese tramo:
- Punto A (Punto de control del río): Se ubica en las coordenadas (10, 20) metros.
- Punto B (Otro punto del río): Se ubica en las coordenadas (50, 40) metros.
- El árbol viejo (Inicio de la cerca): Está en la entrada del terreno, coordenada P (20, 10).
2. Calcular la ecuación de la orilla del río
Primero, calculamos la pendiente del río con los puntos A y
B:
A (10, 20)
B (50, 40)
m = (y2-y1)-(x2-x1)
m=(40-20)/(50-10)
m=(20)/(40)=0.5
m= 0.5
Ahora, usamos el punto A (10, 20) para hallar la ecuación de la recta del río:
y-y1 = m (x-x1)
y-20=0.5(x-10)
y-20=0.5x-5
y=0.5x-5+20
La Ecuación del Río es:
y=0.5x+15
3. Aplicar la perpendicular para la cerca
Para que la división del terreno sea perfectamente justa y aproveche el espacio, la cerca que sale desde el árbol debe llegar al río formando un ángulo de 90 grados (una línea perpendicular).
La pendiente de una recta perpendicular es el recíproco negativo de la pendiente original. Se calcula con la fórmula m2=-(1/m1)
m2=-(1/0.5)
m2= - 2
Donde el producto de ambas pendientes siempre es (-1)
(m1) (m2) = -1
(0.5) (-2) = -1
Significa que debes invertir la fracción y cambiar su signo
En geometría analítica, la pendiente de una línea
perpendicular m es la inversa negativa de la original.
4. Construir la ecuación de la cerca
Con los datos anteriores, la pendiente m2 = -2 y el punto de inicio del árbol, es:
P (20, 10)
Ahora, calculamos la ecuación de la línea donde se deben clavar los postes de la cerca:
y-y1 = m (x-x1)
y-10=-2(x-20)
y-10=-2x+40
y= -2x + 40 + 10
y=-2x+50
Esta es la ecuación de la cerca
📌 ¿Para qué te sirvió saber esta ecuación en el terreno?
Al tener ambas ecuaciones, puedes realizar dos tareas críticas en el campo:
- Encontrar el punto exacto de intersección:
Al igualar las dos ecuaciones
(0.5x + 15 = -2x + 50)
0.5x +2x= 50-15
2.5x = 35
X = 35/2.5
X= 14
y=-2x+50
y=-2(14)+50
y=-28+50
y=+ 22
Por lo que, el punto exacto en la orilla del río donde debe terminar la cerca es el punto (14, 22).
Entonces, el topógrafo sólo tiene que caminar a esa coordenada y clavar la estaca final.
- Evitar invasiones: Cualquier punto o poste que se desvíe de la función
y = -2x + 50
Significa que la cerca se está metiendo ilegalmente en el terreno del vecino o del hermano.
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
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